[ Outline ] · Standard · Linear+ Interno Takmicenje Iz Matrematike, 12. tradicionalno

[username]

bilo je danas u 11, za prvi i drugi koliko sam shvatio
ko je sve bio? kako ste uradili? ...
ja onako

[Hannibal Lecter]

I evo i zadataka za drugi razred:

1.Odrediti sve parove prirodnih brojeva (x,y) takve da 2^x-1 | 2^y+1
2.Neka su K i L redom sredista stranica AC i AB trougla ABC. Oznacimo dodirne tacke upisanog kruga trougla sa stranicama BC i AC sa D i E redom. Dokazati da se simetrala unutrasnjeg ugla B, prava KL i prava DE seku u jednoj tacki
3.Oko grada je izgradjen kruzni put. Sve ulice tog grada imaju pocetak i kraj na tom putu i ne postoje 2 ulice koje se seku vise od jednom. Delovi ogradjeni ulicama i putem se zovu KVARTOVI. U celom gradu uveden je propis da sve ulice i put moraju biti jednosmerni. Dokazati dda se bar jedan kvart moze ceo obici krecuci se pravilno.
4.Neka su a,b,c,x,y,z pozitivni realni brojevi tako da a>=b>=c i x>=y>=z. Dokazati nejednakost:
a^2*x^2/((by+cz)*(bz+cy))+b^2*y^2/((cz+ax)*(cx+ay))+c^2*z^2/((ax+by)*(ay+bx))>=3/4
5.Krugovi O1(O1,R1) I O2(O2,R2), (R2>R1) dodiruju se spolja u tacki M. Na krugu O2 izabrana je tacka A, tako da A, O1i O2 nisu kolinearne. Iz tacke A povucene su tangente AB i AC na krug O1. Prave MB i MC seku O2 opet u tackama E i F. Dokazati da EF, tangenta na krug O2 u tacki A i zajednicka tangenta krugova u tacki M, konkurentne